Das Singularitäten-Theorem, auch bekannt als Penrose-Hawking-Singularitäten-Theorem, ist ein zentrales Ergebnis der Allgemeinen Relativitätstheorie, das besagt, dass unter bestimmten allgemeinen physikalischen Bedingungen Raumzeit-Singularitäten unvermeidlich sind. Eine Singularität ist ein Punkt in der Raumzeit, an dem die Krümmung der Raumzeit unendlich wird und die bekannten Gesetze der Physik zusammenbrechen. Solche Singularitäten treten typischerweise im Zentrum Schwarzer Löcher und am Beginn des Universums (dem Urknall) auf. Das Theorem liefert eine mathematische Begründung für die Existenz dieser extremen Regionen und zeigt, dass sie keine Artefakte idealisierter Symmetrien sind, sondern ein generisches Merkmal der Theorie Einsteins.

Die Ursprünge des Singularitäten-Theorems liegen in den Arbeiten von Roger Penrose und Stephen Hawking in den 1960er und 1970er Jahren. Roger Penrose formulierte 1965 das erste Singularitäten-Theorem, das sich auf kollabierende Sterne bezog und zeigte, dass unter realistischen Bedingungen der Gravitationskollaps zwangsläufig zu einer Singularität führt, sobald ein Ereignishorizont entsteht. Dieses Theorem war bahnbrechend, da es die Existenz von Schwarzen Löchern aus den Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie ableitete, ohne auf Symmetrieannahmen angewiesen zu sein. Stephen Hawking erweiterte diese Arbeit und formulierte 1970 zusammen mit Penrose ein allgemeineres Theorem, das auch die kosmologische Singularität des Urknalls umfasste.

Das Singularitäten-Theorem basiert auf einigen wichtigen Voraussetzungen. Eine der kritischsten ist die sogenannte Energiebedingung, die besagt, dass die Energie-Dichte und der Druck der Materie im Universum nicht negativ sein dürfen. Es gibt verschiedene Formen dieser Energiebedingung, wie die schwache, die null-, die dominante und die starke Energiebedingung. Die null-Energiebedingung, die für das Penrose-Theorem relevant ist, besagt, dass der Energiefluss entlang nullartiger Geodäten (Lichtstrahlen) nicht negativ ist, was physikalisch bedeutet, dass die Gravitation immer anziehend wirkt. Eine weitere wichtige Voraussetzung ist die Existenz einer sogenannten "eingeschlossenen Oberfläche" oder die Annahme, dass das Universum eine kausale Struktur aufweist, die keine geschlossenen Zeitkurven zulässt.

Die Implikationen des Singularitäten-Theorems sind weitreichend. Für Schwarze Löcher bedeutet es, dass jeder Gravitationskollaps, der über eine bestimmte Masse hinausgeht, unweigerlich zu einer Singularität im Inneren führt, die vom Ereignishorizont verborgen ist. Dies bestätigt die physikalische Realität von Schwarzen Löchern als Endzustände massiver Sterne. Im kosmologischen Kontext impliziert das Theorem, dass das Universum in der Vergangenheit eine Singularität gehabt haben muss, den Urknall, an dem die Dichte und Krümmung des Universums unendlich groß waren. Dies untermauert das Standardmodell der Kosmologie, obwohl es auch die Grenzen der Allgemeinen Relativitätstheorie bei extremen Bedingungen aufzeigt.

Trotz seiner Robustheit hat das Singularitäten-Theorem auch seine Grenzen. Es sagt zwar die Existenz von Singularitäten voraus, aber es beschreibt nicht, was in ihnen passiert, da die Allgemeinen Relativitätstheorie dort zusammenbricht. Dies deutet darauf hin, dass eine umfassendere Theorie der Quantengravitation erforderlich ist, um diese Regionen zu beschreiben. Theorien wie die Stringtheorie oder die Schleifenquantengravitation versuchen, die Singularitäten durch Quanteneffekte zu "glätten" oder zu vermeiden, indem sie beispielsweise eine maximale Krümmung oder eine "Bounce"-Kosmologie vorschlagen, die einen Urknall durch einen "Ur-Kollaps" ersetzt. Das Singularitäten-Theorem bleibt jedoch ein Eckpfeiler unseres Verständnisses der Gravitation im klassischen Bereich und ein starker Hinweis auf die Notwendigkeit einer Vereinigung von Quantenmechanik und Gravitation.